Lernmaterial Rechnen

Dreisatz

Im Dreisatz geht es darum, Verhältnisaufgaben zu lösen. Dieses Verfahren nennt sich Dreisatz, weil man drei Rechenschritte zur Lösung einer Aufgabe durchführen muss. Zwei Werte, die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen sind bekannt. Man möchte aber auf der Grundlage dieses Verhältnisses einen neuen Wert in ein gleiches Verhältnis zu einem unbekannten Wert stellen. Dazu gibt es zwei Arten. der Verhältnisse: proportionale und anti-proportionale. Ersteres beschreibt ein Verhältnis „je mehr – desto mehr“, letzteres genau umgekehrt „je mehr – desto weniger“. An zwei Beispielen soll dies erläutert werden.

Proportionale Verhältnisse

Du kennst das sicher vom Einkaufen. Du möchtest am Supermarkt an der Käsetheke losen Käse kaufen. Auf der Preistafel steht, dass 100 g davon 1,50 € kosten. Du sollst 300 g kaufen und möchtest wissen, wie viel du dafür bezahlen sollst.

Es geht also um folgende Überlegung:

100 g Käse kosten 1,50 €

300 g Käse kosten ? €

Der Rechenweg sieht wie folgt aus, wobei man für das Verhältnis der beiden Werte – also Käse und Euro – dieses mathematische Zeichen verwendet ≙ und anstelle des Fragezeichens kommt das ‚x‘, der unbekannte, gesuchte Wert. Wir ersetzen also das Verb ‚kosten‘ und das ‚?‘ durch diese beiden Zeichen:

100 g ≙ 1,50 €

300 g ≙ x

Zuerst müssen wir ausrechnen, was 1 g kostet, also 1,50 € durch 100 g teilen.

  = 0,015 €

Anschließend nehmen wir diesen Wert mit den 300 g mal, da wir ja wissen wollen, wie viel unser Käse kostet.

0,015 € x 300 g = 4,50 €

Die 300 Käse kosten also 4,50 €. Und wir haben dazu drei Schritte gebraucht.

Wir verwenden diesen Dreisatz für proportionale Zusammenhänge, also je mehr von dem einem, desto mehr von dem anderen.

Nun versuche, die folgende Aufgabe selbst zu lösen.

Du hast von einem Freund ein Auto geliehen, um in eine andere Stadt zu fahren. Der Freund hat dir gesagt, dass das Auto auf 100 km 8 Liter verbraucht. In den Tank gehen 50 Liter. Wie weit kannst du ohne neu zu tanken mit dem Auto fahren? Zeige erst einmal im Folgenden die Zusammenhänge auf.

Nun musst du ausrechnen, wie weit man mit 1 Liter kommt. Dazu teilst du die 100 km durch die Liter, also durch 8 L. Du kannst den Wert entweder im Kopf oder mit einem Taschenrechner ausrechnen (auf deinem Handy ist sicher einer).

Jetzt muss nur noch dieser Wert mit den Litern in dem gefüllten Tank multipliziert werden. Wie groß ist dieser Wert? Trage in die folgende Formel ein!

Soweit kannst du also mit dem Auto deines Freundes fahren! Das proportionale Verhältnis heißt hier: je mehr Benzin, desto weiter kann man fahren, also ‚mehr‘.

Anti-proportionale Verhältnisse

Herr Maier von der Geschäftsführung der Firma ‚Alles auf Lager‘ möchte seine Lagerhalle neu streichen lassen. Dazu holt er ein Angebot von der Malerei ‚Pinselstrich‘ ein. Das Angebot gibt an, dass 4 Maler dafür 8 Tage benötigen. Herrn Maier dauert das aber zu lange, da die Lagerhalle für die Firma oft gebraucht wird. Er möchte deshalb, dass die Halle. in 4 Tagen gestrichen werden soll. Wie viele Maler muss die Malerei dann schicken?

Zuerst musst du ausrechnen, wie viele Maler man braucht, um die Arbeit an nur einem Tag zu schaffen. Dazu nimmt man wie in der ersten Zeil die Anzahl der Maler mit der Anzahl der Tage mal (multipliziert).

Danach muss der gewonnene Wert durch die Anzahl der gewünschten Tage geteilt werden.

Jetzt weiß die Malerei, wie viele Maler sie schicken muss, damit Herrn Maiers Wunsch erfüllt werden kann, die Lagerhalle in 4 Tagen zu streichen.


Durchschnittsrechnung

Durchschnittsrechnungen helfen einem, Werte von unterschiedlichen Angaben zu ermitteln. Ein Bespiel soll erläutern, wie dies funktioniert.

Ein LKW-Fahrer legte in der letzen Woche folgende Tagesstrecken zurück: Montag 435 km; Dienstag 388 km; Mittwoch 612 km; Donnerstag 531. km; Freitag 434 km. Wie viel Kilometer fuhr der LKW-Fahrer durchschnittlich pro Tag?

Zuerst müssen wir eine Tabelle dazu erstellen, die folgt aussieht. In der letzten Zeilen zählen wir die Kilometerleistung der gesamten Woche zusammen.

WochentagKilometerleistung
Montag435 km
Dienstag388 km
Mittwoch612 km
Donnerstag531 km
Freitag434 km
Summe2.400 km

Den Summenwert haben wir selbst errechnet (geht auch mit Taschenrechner). Diesen Wert teilen wir dann durch die Anzahl der Wochentage, an denen die Fahrten vorgenommen wurden. Dieser Wert ist 5. Die Gleichung lautet dann also: 2.400 km : 5 Tage = 480 km/Tag!

Nun eine Aufgabe zum Selbstrechnen!

Aufgabe: Ein Transportfahrzeug wird während eines Geschäftsfahrt dreimal betankt:
Tankstopp 1: 52 l zu 1,40 €/l
Tankstopp 2: 47 l zu 1,46 €/l
Tankstopp 3: 51 l zu 1,48 €/l
Wie viel Euro kostet durchschnittlich 1 l Benzin?

Führe den ersten Rechenschritt aus, nämlich was jeder Tankstopp gekostet hat.